Нужно ли мне платить ОСАГО если продавец оплатил его неделю назад на год

Если старый владелец не забирает полис ОСАГО - можно просто перезаключить договор, если коэффициенты Ваши одинаковы то без доплаты, но это только если предыдущий владелец согласен. Талон ТО действителен при любом владельце - главное чтобы марка, модель и гос рег знак в нем соответствовали действительности.

Что значит "и потом не ставить на учет"? Да, по новым правилам продавать можно, не снимая с учета. Но вот Вам на учет на свое имя авто ставить НАДО - в течение 5 дней с даты оформления договора купли-продажи. При этом с прежнего учета авто снимается автоматически.
Полис ОСАГО Вам надо оформить свой. ПРжний владелец свой договор ОСАГО с продажей авто досрочно расторгает и получает оставшуюся часть страхового взноса за неистекший срок страхования с учетом издержек на оформление полиса.
ТО Вам проходить не надо. Если номера не меняете, то и будете ездить с этим талоном до его срока окончания. Если номера меняете, то надо просто заменить талон, предъявив авто для сверки номеров, оплатив госпошлину за талон 300 руб. , без инструментального осмотра. Это в течение 30 дней с даты постановки на учет.

Осаго тебе надо купить.
В талоне владелец не указывается, только номер тс.
Если номер не менялся, с талоном вообще ничего делать не нужно.

ОСАГО покупаешь сама. Старое б. хозяин сдаёт и ему возвращают деньги. А ТО -едешь в ГАИ и его переписывают.