можно ли продать машину без снятия её с учёта???

Да, можно. По новым правилам. Именно по договору купли-продажи.
Оформляете с покупателем договор купли-продажи, вносите изменения в ПТС о смене владельца. Собственно всё. Далее Ваше участие не нужно.
Если Вы и покупатель из одного региона, то все просто - покупатель как новый владелец ставит авто на учет на свое имя, с прежнего учета снятие происходит автоматически. При этом новый владелец по желанию может оставить себе прежние номера - при условии их удовлетворительного состояния.
"6. ..Изменение регистрационных данных о собственнике по совершенным сделкам, направленным на отчуждение в отношении зарегистрированных транспортных средств, осуществляется на основании заявления нового собственника, при условии его регистрации на территории того же субъекта Российской Федерации, что и прежний собственник. (абзац введен Приказом МВД РФ от 20.01.2011 N 28)
...При волеизъявлении нового собственника ранее присвоенные государственные регистрационные знаки, соответствующие требованиям государственных стандартов Российской Федерации, сохраняются за транспортным средством, за исключением случаев, когда прежний и новый собственники зарегистрированы на территории различных субъектов Российской Федерации. (абзац введен Приказом МВД РФ от 20.01.2011 N 28)
24.5. Регистрация транспортных средств по совершенным сделкам, направленным на отчуждение в отношении зарегистрированных транспортных средств, производится по заявлению нового собственника по месту его жительства. Снятие с учета осуществляется без обращения нового собственника по месту прежней регистрации транспортного средства. "
Если продавец и покупатель из разных регионов, то продавать, не снимая с учета, тоже можно. Но при постановке на учет в регионе своей регистрации сначала из МРЭО отправят запрос по месту прежней регистрации авто для проверки. Иногда на получение ответа уходит 1-2 месяца. Поэтому в этом случае лучше или самому продавцу снять авто с учета (и ему так спокойнее) , или надо, чтобы новый владелец снял авто с учета по месту его (авто) регистрации, потом перегнал авто к себе и поставил на учет.

Можно. По доверенности.

Можно, просто пишется рукописный договор купли-продажи, новый владелец едет в МРЭО и ставит машину на учет, причем с вас она автоматически снимается.

теперь можно, приходите в гаи с заявлением и с бывшим владельцем, и там по вашему заявлению просто меняют имя владельца, номера можете оставить теже, если старый хозяин не пожелает их оставить себе.

По дверенности генеральной

Ответ выше