Откуда произошла и что означает поговорка "Не мытьем - так катаньем"?

Верно. Вы правы. А я ошиблась ))

Ну - это старые поговорки на новый лад )))

Произошла поговорка в среде, производителей валенок. Процесс сбивания шерсти в непосредственно материал - войлок после промывки включает в себя такие процедуры как отбивание (или битье) - в результате которого шесть уплотняли. А потом ее пропускали через валики, чтобы выровнять поверхность (катали). Соответственно поговорка означает, что тем или иным путем, но я своего добьюсь .