Может ли разведенная мать с дочерью трёх лет поехать в Абхазию на отдых без разрешения отца дочери?

Может. У меня дочь привозила внучку 8 лет без согласия мужа (с ним она в разводе)

Дети до 18 лет, выезжающие из РФ без сопровождения обоих родителей (усыновителей, опекунов или попечителей) , должны иметь кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на их выезд из РФ с указанием срока выезда и государства, которое они намерены посетить (ст. 20 Федерального Закона №114-ФЗ от 15.07.96 г.) . Такого согласия не требуется при фактическом отсутствии второго родителя, которое подтверждено документами: материнской книжкой (книжка матери-одиночки) , свидетельством о смерти, документом о лишении родительских прав, заявлением второго родителя об отказе от ребенка, документом из суда, свидетельствующим, что местонахождение второго родителя определить невозможно.
Более подробно можно узнать тут http://www.kariatida.com/9365/

Абхазия - это Россия

Нет. . Да и нечего делать одной женщине в Абхазии. . Если конечно она не хочет проблем..