Нужно ли разрешение разведенного отца на вывоз матерью несовершеннолетней дочери из страны? Для проживания за границей

если ты РОССИЯНКА то конечно нужно.

Разрешение отца нужно в Вашей ситуации обязательно
Оно оформляется в виде нотариально заверенного нотариусом заявления отца.
Есть еще один крайний вариант:
подача заявления в суд с просьбой дать такое разрешение без отца
причины придумаете (не проживает, уехал и т. д.)

разводятся с жёнами или мужьями, но не с детьми. не берёте во внимание, что бывший супруг может любить своего ребёнка, а ребёнок- его? может, они видеться хотят, общаться.

в данном контексте могу сказать что в ту страну куда вы будете ехать лучше узнать в пососльстве той страны куда едете, потому что есть страны которые не требуют разрешение на выезд с ребенком

Обязательно, при чем нотариально заверенное.

На ПМЖ - обязательно.