Правомерно ли использование инспектором ГИБДД личного видеорегистратора, на машине ГИБДД, во время своего дежурства ?

В любом случае он гражданин страны, поэтому согласно ГК РФ имеет право отстаивать свою честь и достоинство, а значит на него распространяются все права и обязанности гражданина страны. И вообще сейчас в некоторых местах вешают регистраторы на сотрудников МВД в обязательном порядке, хотя бы для контроля поведения сотрудников.