Может ли 15-летний ребенок выехать за границу самостоятельно? Существуют ли специальные доверенности?

нет

Может, но как уже сказали выше нужны заверенные нотариально разрешения от обоих родителей, плюс совершеннолетний сопровождающий.

Конечно. Идите к нотариусу и все будет ок.

Выехать из России сможет при наличии нотариально заверенного согласия на выезд от обоих родителей.
А вот сможет ли он въехать в другую страну - зависит от миграционного законодательства этой страны.

Моя внучка в 13 лет безо всякого сопровождения лежала в Мюнхен и обратно.
Естественно, было оформленное разрешение родителей, в Москве и в Мюнхене провожали и встречали.