Когда писал заявление на увольнение, указал чтобы уволили с 15 числа. Вопрос: Работать 15 числа надо или нет?

Если увольнение "с" 15 числа, то это означает, что "с" 15 человек свободен.

На ваше усмотрение. Платить будут только за работу.

нет

Работать, причём полный день

В заявлении на увольнение указывается не "с" какого числа, а "какого" числа:
"Прошу уволить меня 15 января". Это означает, что 15 января вы приходите на работу, работаете, а вечером получаете свои документы и расчет. Иногда, если есть согласованность с работодателем и все дела переданы, работника могут отпустить и с обеда, например. Но по закону вы должны отработать последний рабочий день полностью.