Сейчас по трудовому кодексу в случае увольнения нужно отрабатывать две недели?

да!

В кодексе еще написано, что по усмотрению работодателя. Т. е. если он захочет, то может отпустить и без отработки, но это зависит от начальника

Да. Нужно, но есть одна лазейка. Если увольняешься с работы в связи с переездом, то они не имеют права тебя заставлять отрабатывать, так как сама отработка не реальна.
Ещё как вариант можешь на больничный уйти, что бы не отрабатывать.

на испыталовке- надо уведомить за 3 дня.