Почему подводящие провода холодные, а нагревательный элемент накаляется?

Закон Джоуля Ленца.
В проводах тоже выделяется тепло - но меньше.

Потому что сопротивление подводящих проводов больше чем сопротивление нагревательного элемента, поэтому ток в нагр. элементе выше гораздо, чем в проводах, поэтому исходя из закона о выделении тепла проводником тока (к примеру за период) тепло будет идти именно от элемента с меньшим сопротивлением, с большим током - т. е. нагревателя!