Разрешено ли въезжать в жилую зону на экзамене?

Экзамен - последняя ступень учёбы, то есть эта поездка учебная.
17.2. В жилой зоне запрещаются сквозное движение, учебная езда, стоянка с работающим двигателем,...

если инструктору надо за пивом, то можно

Проведение экзамена не приравнивается к учебной езде. Маршрут выбирает экзаменатор. Единственное - при желании можно попробовать опротестовать в суде, потому что все маршруты должны быть утверждены. Т. е. на них имеются схемы.

Нет, нельзя.

нельзя. У нас экзамены проходят на автодроме, первый раз слышу, чтоб в городе проходили экзамены