Можно ли написать заявление об увольнении по собственному желанию, но не отрабатывать 2 недели, а принести больничный?

это можно... но как бы не хорошо по отношению к работодателю... подкинешь овнеца и гемороя ему))

Трудовой Кодекс РФ.
Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

Предупреждение работодателя об увольнении по п. 3 ст. 77 ТК РФ заранее - это императивно установленная ст. 80 ТК РФ обязанность работника. Без согласия работодателя на увольнение до истечения срока предупреждения и до издания приказа об увольнении до истечения срока предупреждения работник не имеет права покинуть рабочее место. Разумеется, в определенных ситуациях (см. абз. 2 пп. "б" п. 22 Постановления от 17.03.2004 N 2 в редакции Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 28 декабря 2006 г. N 63 "О внесении изменений и дополнений в Постановление Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 17 марта 2004 г. N 2 "О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации") работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника, т. е. в тех случаях, когда заявление работника об увольнении обусловлено невозможностью продолжать работу (прием его на очное обучение, выход на пенсию, перевод супруга в другую местность и др.) , а также в случаях, если работодатель нарушил закон или иные нормативные правовые акты о труде, условия трудового или коллективного договора, соглашения, работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в указанный работником срок.

на усмотрение работодателя