Обязательно ли закрывать зарплатную карту и счет при увольнении...? И может ли счет уйти в минус?

1) А зачем вам счет после увольнения? Работодатель. с которым вы расторгли трудовой договор вряд ли станет что-то туда перечислять. Новый работодатель у вас не факт что будет выдавать з/п путем перечисления денег на карту и не факт что будет работать с этим банком. По сути у вас останется только счет и ключ к нему, карта.
2) Банк так или иначе может предусматривать в условиях ведения счета какую-либо сумму за его ведение и обслуживание. Сумма это обычно списывается раз в год, она небольшая и может варьироваться от нескольких сотен до тысячи рублей. Так что теоретически есть шанс "уйти в минус", если к моменту очередного списания средств за ведение счета на нем окажется сумма меньше необходимой.