может ли один из двух собственников дома продать свою часть, не ставя в известность второго?

Нет, почитайте статью 250 Гражданского кодекса.

если в Свидетельстве записано что у него именно часть - не может.

у сособственника есть преимущественное право покупки. ( продающий обязан сначала ему предложить купить)

другое дело - что дом физически может и один, но он разделен на 2 независимые части и оформлен как 1/1 ( отдельное жилье) у каждого собственника - тогда может никого не спрашивать

Обязан уведомить согласно 250 ст. ГК РФ.

Нет, не сможет. УФРС не зарегистрирует право собственности без документа, который подтверждает предложение покупки доли другому собственнику

Нет. Более того, другой собственник имеет первоочередное право на приобретение. И первый должен получить официальный отказ от этого. Это обязательное условие для продажи.

Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее.

Может если не найдет. Подаст объявление в газету.

не может