Может кто подскажет, что это за пятна на бегонии и как с ними бороться?

У вас на бегонии не просто пятна. И солнечные ожоги здесь не при чем. Проблема скорее всего с клубнем (если это не элатиор - тогда дело в корнях) . Растение деформировано - листья больные и плохо развитые, ствол оголенный. Причины могут быть разные - клубень изначально больной, насекомые или залили.
Я бы вытащила клубень из земли и осмотрела на предмет гнилей. При необходимости вырезала пораженные участки, обработала в максиме, срезы - в толченом угле. Если какая живность, то в инсектициде. И по новой - на проращивание.