Почему при умножении на "-1" знак неравенства меняется на обратный?

Потому что знак неравенства - это математическое обозначение порядка. Множества, в которых можно сравнивать один элемент с другим, так и называются - упорядоченные множества. Числовая прямая - упорядоченное множество, т. к. мы можем сравнивать между собой числа. А умножение на -1 можно рассматривать как отражение числовой прямой относительно 0: у чисел меняется знак, те, что были справа от нуля (положительные) , оказываются на таком же расстоянии (называется модулем числа) , но слева. И наоборот. Меньше то число, которое на числовой прямой левее. Вот и получается, что при умножении на -1 либо мы стороны неравенства меняем местами (отражаем) , а знак неравенства оставляем без изменений, либо правую и левую стороны неравенства оставляем на месте, но отражаем знак.

Например было: 1<100. Умножили все на -1, получили -1 и -100. Какое число теперь меньше? - То, что стоит левее, т. е. -100. Значит пишем:
-1 > -100 - зеркально отразили знак, либо
-100 < -1 - зеркально отразили числа. т. е. поменяли местами стороны неравенства, а знак оставили без изменения - он всего лишь показывает направление упорядочения чисел.

Если в неравенстве стоят какие-то переменные, сложные выражения, то суть не меняется - ведь всё равно переменные обозначают какие-то числа. И выражения в итоге дают какие-то числа. Поэтому правила изменения знака неравенства остаются теми же.