В прямоуг-м треуг-кес катетами а и b вписан полукруг касающийся катетов, с диаметром лежащим на гипотенузе, найд. его радиу

Пусть АВС - прямоугольный треугольниик, угол А - прямой.
Катет АВ = а, катет АС = в.
Пусть О - центр полукруга, О находится на гипотенузе ВС.
Проведем радиус ОД из точки О в точку касания полукруга со стороной АВ, этот радиус перпендикулярен стороне АВ.
Проведем радиус ОЕ из точки О в точку касания полукруга со стороной АС,
этот радиус перпендикулярен стороне АС.
Пусть радиус полукруга = р.
Тогда ДВ = АВ - р, ДО = р, ОЕ = АД = р.
Треугольники АВС и ДВО подобны, (прямоугольные с общим острым углом) ,
поэтому
АВ/АС = ДВ/ДО или
а/в = (а - р) /р
Получаем
а*р = а*в - в*р
а*Р + в*р = а*в
Радиус полукруга
р = а*в/(а + в)