Начнем с того, что при включении зажигания должна загораться приборка, большинство ламп. Это своего рода тестовый режим для большинства ламп. Далее после запуска всё гаснет. Остается гореть то что не исправно.
Сигнализация должна препятствовать запуску двигателя.
Если авто заводится, то на 99% сигнализация здесь не причем.
Больше похоже на ситуацию когда вы завели авто, а далее газанув либо происходят подвижки жгутов под торпедой в следствии механического воздействия на контакт или провод, либо что то похожее происходит под капотом.
Поведение приборки говорит о том что на неё подается зажигание или питание.
Собственно и сигнализация может так же себя вести при подаче питания. Предположительно что сигнализация подключена по питанию к тому же проводу что и питается приборка.
Прежде чем менять щетки я бы проверил сигналы на генераторе. Может банально обрыв провода.
Хорошо бы открыть схему и посмотреть схему зарядки и самого генератора.