В каком законе или кодексе прописаны права участников третьей стороны (службы по делам детей)?

Если Вы имеете ввиду про органов опеки и попечительства, то их деятельность регламентируется ст. ст. 31-40 ГК РФ, также Семейным кодексом и и Федеральным законом от 24.04.2008 № 48-ФЗ «Об опеке и попечительстве».