⇢ ИП
Игорь Папко
Задача по геометрии, решаю уже почти год и никак не решу, это не домашка!
Окружность пересекает стороны треугольника в серединах и касается третьей стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный
ОП
Оксана Певень
Ответ
Треугольник АВС пересекается с окружностью на сторонах АВ и ВС в точках D и F (AE=EB и BF=FC) и со стороной АС в точке касания К.
Точки E, F и С равноудалены от центра окружности О. =>
EO = OF = OC
В треугольнике АВС четырехугольник EBOF:
EB = BF
EO = OF
OB - общая =>
треугольники EBO = OBF (по трем сторонам) =>
L EBO = L OBF =>
в новом треугольнике EBF прямая ВО пересекает сторону EF в точке М и EM=MF.
EF // AC => в треугольнике АВС
АВ = ВС - треугольник равнобедренный
Рома Никитин
Окружность не пересекает АС в том случае если ОК перпендикулярна АС.
3 случая: 1) Вершина АВС лежит на прямой ОК. Условие АК=КС выполняется если АВ=ВС.
2) Проведём прямую POL паралельную АС. Вершина АВС на прямой POL и не совпадает с О. Этот случай не рассмотрел нет времени.
3) Вершина АВС не лежит на прямых ОК и POL (в плоскости рисунка) . В треугольнике АВС EF средняя линия. Но в тоже время EF средняя линия в треугольнике NOM (точки N и M на прямой АС) . Но по предположению (3) высота NOM не равна высоте АВС. Значит в этом случае точка К не касается, а пересекает АС.
СО
Саламат Осмонбаев
Как изменится положение центра окружности если вершину В переместить вдоль линии PL. Точка Е переместится паралельно АС в точку Е1.Угол Е1КА не будет равен углу ЕКА. (он будет больше) (длинна АВ увеличится до АВ1. ==> АЕ1 > АЕ. Высота треугольн АЕ1К не изменится. и т. д. против большей стороны больший угол. )
С другой стороны центр окружности находится на перпендикуляре через середину хорды (тчк. R). Когда была хорда ЕК был перпендикуляр RО. Для хорды Е1К центр будет на перпендикуляре R1О1. Значит центр окружности сместился в сторону. А это значит О1К неперпендикуляра АС.
Перпендикулярность ОiК при изменении вершины В вдоль ОК не вызывает сомнения.
Док-во неперпендикулярности ОjК для любой другой точки на плоскости будет из 2-х этапов. 1) Перемещения В по ОК в Вi. 2) Перемещения Вi по PiLi в Вj.
Похожие вопросы