Основание пирамиды DABC является правильный треугольник ABC, сторона которого равна a. Ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC, а плоскость DBC составляет с плоскостью ABC угол 30 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ
1) Треугольник АВС:
КА - высота треугольника АВС.
AK^2 = AC^2 - CK^2 = AC^2 - (BC/2)^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4
AK = V(3a^2/4) = aV3 /2
2) Треугольник ADK:
AK = aV3 /2
L AKD = 30 град. =>
AD = AK * tg 30 = aV3 /2 * 1/М3 = a/2 - высота пирамиды
DK = AK / cos 30 = (aV3 /2) / (V3/2) = a - высота треугольника DCB
4) S бок = S (ADC) + S (ADB) + S (DCB)
S (ADC) = S (ADB) ( т. к. АС =АВ, L DAC = L DAB = 90 град, AD - общаяя сторона => по двум сторонам и углы между ними треугольники DAC = DAB => равны их площади) =>
S бок = 2*S (ADC) + S (DCB) =
= 2 * 1/2 * AC * AD + 1/2 * BC * DK =
= a * a/2 + 1/2 * a * a = a^2 /2 + a^2 /2 = 2a^2 /2 = a^2
⇢