Пройду ли я в Беларуси техосмотр с битой дверью и задним крылом? Дверь открывается-закрывается.

За бракуют))

Нарушение внешнего вида - это серьёзный дефект. Не пройдёте.

Пройдёте, об этом в Конституции ничего не сказано.
Если воозникнут трудности, можете хадатайством на имя начальника местного РОВД заявить об отсутствии необходимости подпирать дверь в закрытом положении. Обязательно приложите фотографии "до и после".