Можно ли прописать несовершеннолетнего ребёнка одного (без взрослых) в купленную квартиру?

Нет. В других случаях:
Вам нужно сначала обратиться в ЖЭК, где вам дадут заполнить определенные формы документов, с которыми нужно будет обратиться в опекунский совет и получить разрешение на выписку ребенка из квартиры. В опекунский совет необходимо подать следующий перечень документов:

Заявления родителей ребенка;
Если ребенок достиг 14 лет - заявления ребенка;
Свидетельство о рождении ребенка;
Копия и оригинал Свидетельства о браке/расторжении брака.
формы № 3, 4, 15из ЖЭКа.
Копия и оригинал правоустанавливающего документа на квартиру.
Паспорта и копии родителей или законных представителей;
Нотариально заверенное согласие собственника, что он не возражает прописать к себе ребенка;
Если ребенка выписывают с целью продажи квартиры, то в таком случае необходимо согласие опекунского совета на отчуждение имущества, которым имеет право пользоваться ребенок.

Несовершеннолетний ребенок должен быть прописан с одним из родителей. Т. е. к примеру, матери нужно выписываться вместе с ребенком и прописываться в другую квартиру. Если в квартире, в которую собираетесь прописать ребенка, прописан отец ребенка, в таком случае мать может не выписываться. Если ребенок прописывается к одному из родителей, тогда согласие опекунского совета не требуется.