найти все значения параметра а уравнения b в квадрате умноженное на (b+a)=1 при которых уравнение имеет один корень

Если я правильно понял, речь идет об уравнении

x^2*(x+a)=1, где x - неизвестное, a - параметр.

Так как это - уравнение 3-й степени, то (действительных) корней может
быть три, два или один, в зависимости от значения параметра а.
Например, если а=0, то корень один.

Перепишем уравнение в виде a=1/x^2-x и исследуем функцию у=1/x^2-x
Производная равна y'= -2/x^3-1, она равна 0 при х0= -2^(1/3).
При этом функция у (х) имеет минимум у (х0)=3/(x0)^2=3/2^(2/3)=3/4^(1/3).
При х больше 0 функция монотонно убывает, см .график.
Значит, если a < y(x0), то корень уравнения ровно один.
Ответ: один корень, если а < 3/4^(1/3).