на бамбуке счастья, стоявшего несколько лет в воде в вазе, выросли три отростка высотой 20 см ...

Такие маленькие, а уже отвалиться хотят? У моей драцены они больше 30 см, но не гнутся и не ломаются.. .

А так, конечно, можно отрезать эти боковые ответвления чистым ножом, место среза на стволе помазать зелёнкой или присыпать порошком активированного угля. А черенки поставить в воду или посадить в едва влажную рыхлую почву (с добавлением крупного песка или вермикулита) . И так и так корни появятся.