Как можно отсудить часть квартиры у супруга ( прожили 13 лет в гражданском браке, есть ребенок)?

Никак. Он никакой Вам не супруг и не стоит зариться на чужое имущество.
Ребёнок получит наследство от своего отца (если было установлено отцовство).

если он признан отцом официально, то можно посудиться

А супруга не было и нет, есть только ребенок, которого гражданин признал своим сыном (дочерью) . Вот вам и "гражданский брак". Отец может потребовать, чтобы ребенок проживал с ним, так ка мать ребенка финансово несостоятельна и не имеет места проживания.

Увы, никак. Сожительство не признается у нас браком. Ребенок к имуществу супруга сможет иметь отношение только как наследник в свое время, да и то только в определенных обстоятельствах. Это все к вопросу о пресловутом штампе в паспорте, который многие игнорируют, говоря, что в отношениях он ничего не меняет. На самом деле меняет и очень многое.

Сходите к грамотному юристу, чтобы защитить интересы ребенка. Если брак официально не зарегистрирован, вы действительно не имеете права на долю имущества гражданского мужа.

Никак - у нас сожительство не признается. Только в официальном браке вы можете делить совместно нажитое имущество. Сожительство кроме (детей) вас ни чем не обременит.