С помощью HDMI кабеля можно играть в игры? ( если подключить к телевизору)

Конечно. Какая разница-то? Телевизор будет выполнять роль монитора.

конечно можно

конечно но частота обновления кадров при разрешении 1920х1080 (если такое поддерживается) будет (скорее всего) 24 гц и 60 гц при 1280х720

Зависит от телевизора и от компьютера, чем больше разрешение телевизора, тем больше нагрузка на компьютер.