Теория представления линейных групп > < Что за: a=g^(-1)bg, нигде не нашел внятного обьяснения с примерами, что такое сопряженные элементы, как это вообще выглядит на реальных примерах. Решение задач по этому предмету - это тыкание пальцем в небо для меня. Помогите пожалуйста понять одну задачу, а дальше сам попробоую разобраться
Задача:
Докажите, что сопряженные элементы имеют одинаковые порядки.
Теория групп одна из самых абстрактных наук. Ее цель - избавившись от конкретики, индивидуальных деталей каждой группы, заниматься общим, не отвлекаясь на детали, мешающие исследованию.
Поэтому в Вашей задаче надо внимательно выписать (а лучше, знать их) все определения) и работать исключительно с ними.
Легко показать, что a^n = g^(-1) b^n g, то есть элементы a^n и b^n сопряженные. Далее. Порядок a - это наименьшая степень n, такая что a^n=e (если такое n существует, то есть порядок конечен) . Тогда g^(-1) b^n g = е. Домножаем слева-справа на что нужно, получаем b^n=е. Отсюда следует, что порядок b не больше n. Обозначим его m и предположим, что m < n. Но a = gbg^(-1). Считаем a^m = gb^m g^(-1) = gg^(-1) = e. В предположении m < n получили противоречие с определением порядка (для а нашли меньшую n степень, в которой оно равно нейтральному элементу) . Значит, m=n.
Итак, мы показали, что каким бы ни был конечный порядок элемента, сопряженный к нему элемент тоже имеет конечный порядок, причем в точности тот же. Отсюда следует, что если элемент - бесконечного порядка, то сопряженный - тоже бесконечного. (Если это почему-то вдруг неочевидно, намек: предположите противное.) .
========= часть, имеющая косвенное отношение к вопросу.
Как уже было сказано, конкретика Вас только запутает. Но если очень надо, рассмотрите группу невырожденных квадратных матриц второго порядка GL_2(R).
Напишите в ней любую (невырожд) матрицу В. Возьмите сами невырожд. матрицу С, посчитайте к ней обратную. Посчитайте A = C^(-1)BC (для матриц А и В также называют подобными) . Вот и будет Вам пара сопряженных элементов. Кстати, у них вполне определенный смысл. Конечно, Вам известно, что матрица - это один из способов представления линейного оператора. Единственно, чем этот способ плох, он зависит от выбора базиса в пространстве. А оператор не зависит. Так вот, если B - матрица оператора в некотором базисе, то каждую сопряженную к В матрицу можно интерпретировать как матрицу ТОГО ЖЕ оператора в другом базисе. И наоборот, матрицы одного и того же оператора в разных базисах являются сопряженными.
Конечно, тут же возникает естественный вопрос: будучи свободными в выборе базисов, какой наиболее простой вид матрицы мы у нашего оператора можем организовать? Ответ на него Вам известен, это нормальная жорданова форма.
=====
Пора начинать писать учебное пособие. ))
⇢