В самом вопросе у Вас ляпсус - в ПТС и СТС и так указан собственник авто - полные его ФИО и адрес.
По второй части вопроса. Да, срок постановки на учет новым владельцем - 10 дней с даты оформления ДКП. Но при продаже-покупке авто, не снятого с учета, у прежнего владельца есть контрольный срок - 30 дней. Проверить числится ли еще за Вами проданный авто, можно придя в свое РЭО с паспортом. И если в течение 30 дней новый владелец авто на себя не переоформил, то Вы вправе (и лучше это сделать) по паспорту и ДКП снять авто с учета со своего имени принудительно.
"24.5. ..В отношении зарегистрированных транспортных средств по заявлению прежнего собственника и предъявлении им документов о заключении сделок, направленных на отчуждение транспортных средств, при отсутствии подтверждения регистрации за новым собственником по истечении 30 суток со дня заключения таких сделок действующая регистрация транспортных средств прекращается. "
И нет проблем.