можно ли наблюдать самую яркую звезду северного полушария и самую яркую звезду южного полушария одновременно

Конечно.

Самая яркая звезда южного полушария - Сириус, прекрасно видна у нас зимой, около полуночи на юге, самая яркая северного - Арктур, вообще вина чуть ли не круглый год.

Каждый вечер, гуляя с собакой любовался обеими.. .

А можно было просто набрать в Вике "список ярких звезд", найти, которые тут самые яркие, потом ткнуть в каждую и посмотреть, когда они видны.