5.Сколько существует наборов из двух или более последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 100?

Сначала заметим, что суммой двух последовательных чисел число 100 не получить, т. к. из двух последовательных, одно будет чётным, а другой нечётным, и их сумма обязательно будет нечётным числом. Если же сложить 3 последовательных натуральных числа: n+n+1+n+2, то их сумма 3n+3 будет обязательно делиться на 3, следовательно, и здесь мы число 100 не получим. Для четырёх слагаемых окажется, что их сумма n+n+1+n+2+n+3=4n+6 даёт остаток 2 при делении на 4, а 100 делится на 4 нацело, итак, и здесь неудача.

Рассмотрим в общем случае сумму k последовательных натуральных чисел.
n+n+1+n+2+...+n+k-1=kn+k(k-1)/2
Отсюда видно, что при нечётных k сумма будет делиться на k, а при чётных k сумма k последовательных натуральных чисел будет давать остаток k/2 при делении на k, и, следовательно, будет делиться на k/2.

Выясним теперь, какое наибольшее количество последовательных слагаемых может образовать сумму в 100. Поскольку наименьшая по величине сумма из 14-ти слагаемых 1+2+...+14=14*15/2=105>100, то достаточно перебрать все k, не большие 13-ти. Из нечётных подходит только 5, т. к. на 7, 9, 11 или 13 число 100 не делится. Из чётных подходит только 8 (100=12*8+4).

Можно привести и соответствующие разбиения:
100=18+19+20+21+22
100=9+10+11+12+13+14+15+16