В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 7, диагональ BD равна 4. Точки K и M - середины ребер CD и BC соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC.
Ответ
Основание ABCD:
BD = 4
BC = CD =>
BD^2 = BC^2 + CD^2 = 2BC^2
4^2 = 2BC^2
BC^2 = 16/2 = 8 = (2V2)^2 =>
BC = 2V2 - сторона основания
MK // BD
BM = MC
CK = KD =>
МК - средняя линия треуг-ка BCD =>
MK = 1/2 * BD = 1/2 * 4 = 2
Боковые ребра:
SB = SC = SD
BC = CD = 2V2 =>
треуг-ки BSC = DSC =>
SM = SK
Сечение SOD:
SO = 7
OD = BD/2 = 4/2 = 2 =>
SD^2 = SO^2 + OD^2 = 7^2 + 2^2 = 53
SD = V53 - длина бокового ребра =>
SK^2 = SD^2 - DK^2 = SD^2 - (CD/2)^2 =
= (V53)^2 - (2V2/2)^2 = 53 - 2 = 51
SK = V51 - высота боковой стороны (треугольника SDC)
Сечение SMK:
MK = 2
SM = SK = V51
SN - высота треуг-ка SMK из S на MK
SN^2 = SK^2 - NK^2 = SK^2 - (MK/2)^2 =
= (V51)^2 - (2/2)^2 = 51 - 1 = 50
SN = V50 - высота треуг-ка SMK
Треугольник SON:
SO = 7
SN = V50 =>
sin SNO = SO / SN = 7/V51
cos^2 SON = 1 - sin^2 SON = 1 - (7/V51)^2 =
= 1 - 49/51 = 2/51 =>
cos SON = V(2/51) =>
tg SON = sin SON / cos SON =
= (7/V51) / V(2/51) = 7*V51 / V51*V2 =
= 7/V2 = 7V2/2 - тангенс искомого угла
⇢