Верно ли, что равносторонние треугольники равны, если их периметры равны?

Верно.
Два равносторонних треугольника равны, если равны их соответствующие элементы (стороны, периметры, площади) .
Можно и так. В равностороннем треугольнике все три стороны равны а, значит его периметр 3а. Он равен периметру второго равностороннего треугольника, а значит, его сторона тоже а, т. е. два треугольника равны по трём сторонам.