нужно отрабатывать 2 недели после написания заявления

Не нужно. По ТК нужно заявление писать не позже, чем за 2 недели до увольнения.
По согласованию с работодателем можно уволиться и раньше. Можно так же уйти в отпуск или взять больничный.

на усмотрение администрации

у начальника спроси подпишет не надо

Предупредить работодателя за две недели Ваша обязанность, а отрабатывать или нет, на усмотрение работодателя

напишите уволить с сегодняшнего дня в связи с перездом на постоянное место жительство в другой регион.

Да, к сожалению с момента вашего заявления до вашего увольнения должно пройти никак не меньше двух недель. Если вы не брали отпуск, попробуйте договориться с работодателем об экономии на отпускных, если нет возможности отрабатывать