могу ли я получить свидетельство о рождении ребёнка по просроченому паспорту?

Вообще-то нет.
Но если инспектор ЗАГСа окажется не совсем внимательным (не обратит внимания, что Вам исполнилось 20 или 45 лет-видимо по этой причине он просрочен?) -тогда возможно и получите.

Просроченных паспортов не бывает, бывают недействительные.