если учиться на бюджете на одной специальности, но..

останется... если на том, новом месте, будет свободным именно бюджетное место

Формально правило есть: "Вы можете перевестись на другую специальность, сохранив бюджет, если на ней будут свободные бюджетные места".
НО! Это же бюджетные места. Сами судите, насколько это возможно.
Я пробовал переводиться несколько раз после каждого семестра. Вакантных мест не было. Точнее, они распределялись между внебюджетниками, которые учатся на этой специальности.