Можно ли остаться в университете на второй год обучения, учась на бюджете?

Не практикуется вообще оставлять на второй год. Нет смысла.
А то получается, что вы не хотите учиться, а вас заставляют.
А вот взять академ и оказаться опять на этом же курсе можно. Через год вы снова на этом же курсе.