может ли отец прописать ребенка без согласия матери ребенок на данный момент прописан у матери

прописать к себе - может, выписать от матери - нет.

Дети всегда прописаны по месту прописки матери. Что бы прописать их в другое место нужно, сначала, выписаться с предыдущего. А ребенка, без согласия не только матери, но и отдела по делам семьи и молодежи (у нас, в Украине) не выпишут, дабы не ущемлять права ребенка.. . Если родители в разводе - по решению суда ребенок может быть прописан у отца.

Насколько я знаю, нужно письменное согласие матери.

Нет не может

При прописке на территории отца помимо всех документов нужно письменное согласие матери.
В браке или нет - значения не имеет.