существует ли граф, степени вершин которого попарно различны?

не существует.
Предположим, что существует граф G с n вершинами, все вершины которого имеют разную степень, т. е. каждое из чисел последовательности 0, 1, 2, ..n-1 является степенью одной и только одной из его вершин.
Но этого не может быть. Действительно, если в графе есть вершина 0 степени, то в нем не найдется вершина со степенью n-1, так как эта вершина должна быть соединена ребрами со всеми остальными вершинами графа, в том числе с вершиной степень которой 0.
Следовательно, найдутся хотя бы две вершины, степени которых равны между собой.