почему двери в метро закрываются очень быстро, а открываются медленно?

открываются мотором, а закрываются свободно отпущенные обратно

Потому что надпись "не прислоняться" не для всех написано. Чтобы отскочить успели.
А закрываются быстро - чтобы не решающихся пассажиров "успею - не успею" отсеять

Принцип такой же, как у рогатки.
Представьте - чтобы натянуть резинку нужно усилие (открыть двери) , а чтобы выстрелить - достаточно просто отпустить ее ( закрыть двери).