Дают ли банки карточку гражданам, которым нет 18, но есть 16?

Да, с 14 лет можно по паспорту оформить собственную дебетовую карту и самостоятельно совершать по ней операции.
Советую обратиться в Сбербанк - самая широкая сеть отделений, банкоматы на каждом шагу, выгодные предложения.
В Сбербанке тебе оформят за 10 минут по паспорту бесплатную карту Виза Электрон / Маэстро Моментум. Сможешь вносить на нее деньги, снимать в банкоматах, оплачивать услуги в банкоматах Сбербанка (например, на мобильник класть без комиссии) , делать переводы, пользоваться бесплатно интернет-банком. Советую её для начала получить.
Если же хочешь ещё и на сайтах оплачивать товары, то нужна карта классом повыше. Опять же в Сбербанке для лиц от 14 до 25 лет можно оформить карту по спец. программе для молодежи "Респект от Сбербанка". Получишь полноценную карту Visa Classic, но дешевле, чем где-либо: стоимость обслуживания - всего 150 рублей В ГОД. Вот информация - [ссылка заблокирована по решению администрации проекта]. ru/respect/freedom/overview/
Из документов нужен только твой паспорт. Молодежную карту также удобно пополнять и снимать деньги (трудно не наткнуться на банкоматы Сбербанка) , бесплатный Интернет-банк, есть и Мобильный банк (SMS) - 2 месяца бесплатно. В общем, полнофункциональная дебетовая карта, в т. ч. и для платежей через интернет.
Будут вопросы - пиши, подскажу!