Как правильно: управляющий фабрикой или фабрики?

Правильны оба варианта!!! Все зависит от контекста:
1. если речь идет о должности: кто? управляющий фабрикИ (менеджер фабрики, директор фабрики) (здесь слово "управляющий" является существительным)
2. если речь идет о каком-то человеке, мы даем ему характеристику: Иван Иванович, управляющий фабрикОЙ с 1990 года, хороший руководитель. (здесь слово "управляющий" является причастием)

управляющий чего? фабрики))

Управляющий (чем ?) фабрикОЙ !

И так, и эдак