Автобус точно не советую, т. к.... не знаю, как та женщина 80 лет из Одессы в Питер приехала на автобусе и довольна.... Я, в свои 38, вышел из автобуса Eurolines Берлин-Амстердам (после ночного 9-часового переезда) "без ног".
Можно на самолете из Ростова, но это - не самый бюджетный вариант, конечно.
Я тоже думаю, что оптимал - поезд. Выше Вам даны исчерпывающие инструкции.
Продолжительность поездки: до Сочи, от Питера, ехать 40 часов. Ростов намного ближе. Меньше, чем полтора суток (не успеете даже прочувствовать поездку): )
От Таганрога до Ростова - не знаю, не ездил. Вам, как местному жителю, лучше знать