кот бегает и чешится и катается по полу после купания

Прекрасно. В чём вопрос?

Ну, у него сейчас чистая кожа, ему непривычно. Немного загрязнится, успокоится.

Насчёт иммунитет - вряд ли, но кожа немного страдает. У животных своя щелочная среда между кожей и шерстью, поэтому старайтесь лишний раз не мыть. Ведь кошки не так пачкаются, как собаки. Например, в деревнях животных вообще не моют, ни собак, ни кошек, тем не менее они себя прекрасно чувствуют!

Это норма! котам просто непривычно и неприятно