Подскажите пожалуйста может ли исполнительный директор уволить сам себя? или как происходит данная процедура?

уволиться по собственному.. если отпустят..

Никто самоуволиться не может в принципе. Если исполнительный директор не является главой фирмы (тем, кто указан в уставе как единоличный исполнительный орган, утверждаемый учредителями) , то заявление об увольнении он пишет на имя директора (генерального директора) . Директор (генеральный директор) подписывает и приказ об увольнении.
Если же исполнительный директор (вдруг, хотя как правило так не бывает) - указан в уставе как единоличный исполнительный орган, утверждаемый учредителями, то заявление об увольнении он пишет на имя учредителей (обратите внимание, что в этом случае срок предупреждения об увольнении не 2 недели, а 1 месяц)

исполнительный, не генеральный-учредитель, как все увольняется, он наемный сотрудник, фирма же не ваша.. пишите заявление и идите через 2 недели куда хотите.