составить уравнение окружности с центром в точке О (1,5) касающейся прямой y+x=3

Уравнение окружности (x-1)^2+(y-5)^2=R^2.
Подставляем вместо у выражение из уравнения прямой у=3-х:

(x-1)^2+(3-х-5)^2=R^2.

Раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение:

2х^2+4х+10-R^2=0.

Касательная с окружностью имеет одну точку, поэтому получившееся уравнение должно иметь один корень, а это возможно, когда дискриминант равен 0.

D=4^2-4*2*(10-R^2)=0;

8R^2-64=0;

R^2=8.

Уравнение окружности будет (х-1)^2+(у-5)^2=8.