В полукруг радиуса r вписан прямоугольник. Найти его размеры (длину и ширину) , чтобы его периметр был наибольшим.

Question

Ирина Сурикова · Accepted Answer

Возьмем половинку, радиус 1 (потом умножим на R))) . Периметр равен 
(через w - угол к точке касания с окружностью) 
Максимум через производую : 2*cos(w) +sin(w) ; sin(w)*2 = cos(w) ; w =arctan(1/2) 
Сразу видно , что по у размер в два раза меньше размера по х(точнее половинки) 
Подставив значение угла , получим : 2*cos(arctan(1/2)) +sin(arctan(1/2)) = 5^(1/2) 
Таким образом максимальный периметр прямоугольника 2*5^(1/2) *R

Aнюта · Answer

<img src="//otvet.imgsmail.ru/download/aea0591e1d56fbae9d1fc5438f7c2770_i-2061.jpg" > 
.. |> 
.. |) 
.. |) 
\=|-__7 
Zhelayu uspekhov !!!
Vladimir Shchookin.

Тимон · Answer

Очевидно, одна из сторон лежит на диаметре, другая перпендикулярна к нему. 
Длину стороны, перпендикулярной к диаметру, назовём х, тогда половина другой стороны (по теореме Пифагора) равна koren(r^2-x^2). 
 
Периметр: P=2x+4*koren(r^2-x^2). Находим экстремум: P'(x)=0, x=r/koren(2), 
при этом y=x, P=6r/koren(2) 
 
Ответ: наибольший периметр P=6r/koren(2).