До Перми на автобусе, дальше поездом. От Перми есть и автобус, но он прибывает в Казань ночью, да и существенно дороже поезда.
Из Березников выезжайте автобусом на 18:00. Через 3 с половиной часа в Перми, билет 340 рублей.
Дальше в 23:34 (местного времени) поезд №325 Пермь - Новороссийск. Ехать до станции Восстание (новый вокзал Казани) . Прибытие на следующий день в 11:25 МСК. Плацкартный стоит 1047 рублей, купейный 1946 (если купить более чем за месяц до отправления - 952). Поезд отправляется из Перми по чётным числам.
На всякий случай, автобусный вариант:
Из Березников выезжаете автобусом на 11:00, в Перми 15:40. Билет 335,5 рубля.
От Перми автобус Пермь - Чебоксары, отправление 16:20, прибытие в Казань (по расписанию) - 2:10 МСК. Билет 1632 рубля.