Можно ли написать заявление на увольнение, находясь в отпуске? Или это делается именно после выхода на работу ?

Можно. Можно написать и до ухода в отпуск "прошу предоставить мне ежегодный оплачиваемый отпуск с такого по такое число с последующим увольнением". Последний день отпуска и будет днем увольнения.

Можете это сделать в любой удобный для Вас момент. Например, выслать заявление почтой с уведомлением.

Возможно, т. к. это увольнение по инициативе работника.
Главное либо договориться о сроке увольнения, либо указать его с учётом срока предупреждения 2 недели, срок пойдёт со следующего дня после регистрации заявления.