Отпуск предоставляется не по прихоти работника, а в соответствии утвержденным с графиком отпусков (.ст. 123 ТК РФ) . Так, что если работник желает пойти в отпуск вне графика, то работодатель имеет право отказать.
Два события, больничный и отпуск, не могут быть одновременно. Ни какой конкретной статьи на этот счет не существует. Обычная логика, ни как не возможно даже в табеле "впихнуть" в один день два события. И двойную выплату ни кто производить не будет. Так, что отпуск в любом случае может быть предоставлен только по окончании больничного.
А уволить через 2 недели после подачи заявления не то, что могут, а просто обязаны. И то, что работник находится на больничном значения не имеет. Ст. 80 ТК РФ не содержит запрета на увольнение в период временной нетрудоспособности. Зато там четко сказано, что работодатель не имеет права задерживать человека дольше указанного в заявлении срока.